колебательные системы, свойства которых не изменяются при изменении их состояния, т. е. параметры Л. с., характеризующие её свойства (упругость, масса и коэффициент трения механической системы; ёмкость, индуктивность и активное сопротивление электрической системы), не зависят от величин, характеризующих состояние системы (от смещений и скоростей в случае механической системы, напряжений и токов в случае электрической системы). Параметры реальных систем всегда в той или иной степени зависят от их состояния, например коэффициент упругости пружины зависит от величины деформации (отклонения от закона Гука при больших деформациях), активное сопротивление проводника зависит от его температуры, которая, в свою очередь, зависит от силы протекающего по проводнику тока и т. д. Поэтому реальные системы можно рассматривать как Л. с. только в некоторых ограниченных пределах изменений их состояния, при которых допустимо пренебречь изменениями их параметров. Для очень большого числа реальных систем эти пределы оказываются весьма широкими, поэтому большинство задач можно решать, рассматривая реальные системы как Л. с. Примерами Л. с. могут служить: маятник (при малых амплитудах колебания), электрический колебательный контур, мостовая измерительная схема, системы автоматического управления и регулирования и др. В тех случаях, когда в пределах возможных изменений состояний реальной системы уже сказываются изменения её параметров, приходится учитывать нелинейность системы (см. Нелинейные системы).

Л. с. обладают свойствами, существенно упрощающими анализ происходящих в них процессов. Процессы в Л. с. описываются линейными дифференциальными уравнениями (откуда и произошло их название). Причём, в различных по физической природе Л. с. процессы описываются одинаковыми по структуре уравнениями. На этом основано физ. и, в частности, электрическое моделирование Л. с., а также моделирование на ЦВМ. Л. с. играют большую роль в физике и технике, т. к. без искажения формы воспроизводят внешние воздействия, имеющие характер гармонических колебаний (См. Гармонические колебания), и, во-вторых, в Л. с. справедлив Суперпозиции принцип.

переменных x₁, x₂, ..., x_n - замена этих переменных на новые x'₁, x'₂, ..., x'_n, через которые первоначальные переменные выражаются линейно, т. е. по формулам:

x₁ = a₁₁x'₁ + a₁₂x'₂ + ... + a_nnx'_n + b₁,

x₂ = a₂₁x'₁ + a₂₂x'₂ + ... + a_2nx'_n + b₂,

...

x_n = a_n1x'₁ + _an2x'₂ + ... + a_nnx'_n + b_n,

здесь a_ij и b_i (i, j = 1,2, ..., n) - произвольные числовые коэффициенты. Если b₁, b₂,..., b_n все равны нулю, то Л. п. переменных называют однородным.

Простейшим примером Л. п. переменных могут служить формулы преобразования прямоугольных координат на плоскости

х = x' cos α - y' sin α + a,

у = x' sin α + y' cos α + b.

Если Определитель D = ∣a_ij ∣, составленный из коэффициентов при переменных, не равен нулю, то можно и новые переменные x'₁, x'₂, ..., x'_n линейно выразить через старые. Например, для формул преобразования прямоугольных координат

и

x' =x cos α + ysin α + a₁

y' = -x sin α + cos α + b₁

где a₁ = - a cos α - b sin α, b₂ = a sin α - b cos (. Другими примерами Л. п. переменных могут служить преобразования аффинных и однородных проективных координат, замена переменных при преобразовании квадратичных форм и т. п.

Л. п. векторов (или Л. п. векторного пространства (См. Векторное пространство)) называют закон, по которому вектору х из n-мерного пространства ставят в соответствие новый вектор x', координаты которого линейно и однородно выражаются через координаты вектора х:

x'₁ = a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... +a_1nx_n

x'₂ = a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... +a_2nx_n

...

x'_n = a_n1x₁ + a_n2x₂ + ... +a_nnx_n,

или коротко

x' = Ax.

Например, операция проектирования на одну из координатных плоскостей (пусть на плоскость хОу) будет Л. п. трёхмерного векторного пространства: каждому вектору а с координатами х, у, z сопоставляется новый вектор b, координаты x', y'., z' которого выражаются через х, у, z следующим образом : x' = х, y' = у, z' = 0. Пример Л. п. плоскости - поворот её на угол α вокруг начала координат. Матрицу (См. Матрица)

,

составленную из коэффициентов Л. п. А, называют его матрицей. Матрицами приведённых выше Л. п. проектирования и поворота будут соответственно

и .

Л. п. векторного пространства можно определить (как обычно поступают) без использования системы координат: соответствие х→у = Ax называют Л. п., если выполняются условия А(х + у) = Ax + Ау и A(αx) = αА(х) для любых векторов х и у и любого числа α. В разных системах координат одному и тому же Л. п. будут соответствовать разные матрицы и, следовательно, разные формулы для преобразования координат.

К Л. п. относится, в частности, нулевое Л. п. О, переводящее все векторы в 0 (нулевой вектор) : Ox = 0 и единичное Л. п. Е, оставляющее все векторы без изменения: Ex = х; этим Л. и. в любой системе координат соответствуют нулевая и единичная матрицы.

Для Л. п. векторного пространства естественным образом определяются операции сложения и умножения: суммой двух Л. п. А и В называют Л. п. С, переводящее любой вектор х в вектор Cx = Ax + Вх; произведением Л. п. А и В называют результат их последовательного применения: С = AB, если Cx = А(Вх).

В силу этих определений совокупность всех Л. п. векторного пространства образует Кольцо. Матрица суммы (произведения) Л. п. равна сумме (произведению) матриц Л. п. слагаемых (сомножителей); при этом существен порядок множителей, так как произведение Л. и., как и матриц, не обладает свойством коммутативности (См. Коммутативность). Л. п. можно также умножать на числа: если Л. п. А переводит вектор х в вектор у = Ax, то αА переводит х в αу. Примеры операций над Л. п.: 1) Пусть А и В означают операции проектирования па оси Ox и Оу в трёхмерном пространстве; А + В будет проектированием на плоскость хОу, а AB = 0. 2) А и В - повороты плоскости вокруг начала координат на углы φ и ψ; AB будет поворотом на угол φ + ψ. 3) Произведение единичного Л. п. Е на число α будет преобразованием подобия с коэффициентом растяжения (или сжатия) α.

Л. п. В называют обратным к Л. п. А (и обозначают А^-1), если BA = Е (или AB = Е). Если Л. п. А переводило вектор х в вектор у, то Л. п. А^-1 переводит у обратно в х. Л. п., обладающее обратным, называют невырожденным; такие Л. п. характеризуются также тем, что определитель их матрицы не равен нулю. Некоторые классы Л. п. заслуживают особого упоминания. Обобщением поворотов двумерных и трёхмерных евклидовых пространств являются ортогональные (или унитарные - в комплексных пространствах) Л. п. Ортогональные Л. п. не изменяют длин векторов (а следовательно, и углов между ними). Матрицы этих Л. п. в ортонормированной системе координат также называются ортогональными (унитарными): произведение ортогональной матрицы на её транспонированную даёт единичную матрицу: ∑_ka_ika_jk = ∑_ka_kia_kj = 0 при i ≠ j, ∑_ka²_ik = ∑_ka²_ki = 1 (в комплексном пространстве ∑_ka_ika̅_jk = ∑_ka_kia̅_kj = 0, ∑_k|a_jk|² = ∑_k|a_ki|² = 1). Симметрическим (эрмитовым, или самосопряжённым, - в комплексном пространстве) Л. п. называют такое Л. п., матрица которого симметрическая: a_ij = a_ji (или (a_ij = a̅_ij). Симметрические Л. п. осуществляют растяжение пространства с разными коэффициентами по неск. взаимно ортогональным направлениям. С симметрическими Л. п. связана теория квадратичных форм (или эрмитовых форм в комплексном пространстве).

Приведённое выше определение Л. п. в векторном пространстве, не использующее координатную систему, без всяких изменений распространяется и на бесконечномерные (в частности, функциональные) пространства. Л. п. в бесконечномерных пространствах принято называть линейными операторами (См. Линейный оператор).

Лит.: Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии..., М., 1968; Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, 3 изд., М., 1970; Ефимов Н. В., Розендорн Э. P., Линейная алгебра и многомерная геометрия, М., 1970.

буферные растворы, буферные смеси, системы, поддерживающие определённую концентрацию ионов водорода Н⁺, то есть определённую кислотность среды. Кислотность буферных растворов почти не изменяется при их разбавлении или при добавлении к ним некоторых количеств кислот или оснований.

Примером Б. с. служит смесь растворов уксусной кислоты CH₃COOH и её натриевой соли CH₃COONa. Эта соль как сильный электролит (См. Электролиты) диссоциирует практически нацело, т. е. даёт много ионов CH₃COO^-. При добавлении к Б. с. сильной кислоты, дающей много ионов Н⁺, эти ионы связываются ионами CH₃COO^- и образуют слабую (то есть мало диссоциирующую) уксусную кислоту:

Наоборот, при подщелачивании Б. с., то есть при добавлении сильного основания (например, NaOH), ионы OH^- связываются Н⁺-ионами, имеющимися в Б. с. благодаря диссоциации уксусной кислоты; при этом образуется очень слабый электролит - вода:

По мере расходования Н⁺-ионов на связывание ионов OH^- диссоциируют всё новые и новые молекулы CH₃COOH, так что равновесие (1) смещается влево. В результате, как в случае добавления Н⁺-ионов, так и в случае добавления ОН^--ионов, эти ионы связываются и потому кислотность раствора практически не меняется.

Кислотность растворов принято выражать так называемым водородным показателем (См. Водородный показатель) pH (для нейтральных растворов pH=7, для кислых - pH меньше, а для щелочных - больше 7). Приливание к 1 л чистой воды 100 мл 0,01 молярного раствора HCl (0,01 М) изменяет pH от 7 до 3. Приливание того же раствора к 1 л Б. с. CH₃COOH + CH₃COONa (0,1 М) изменит pH от 4,7 до 4,65, то есть всего на 0,05. В присутствии 100 мл 0,01 М раствора NaOH в чистой воде pH изменится от 7 до 11, а в указанной Б. с. лишь от 4,7 до 4,8. Кроме рассмотренного, имеются многочисленные другие Б. с. (примеры см. в табл.). Кислотность (и, следовательно, pH) Б. с. зависит от природы компонентов, их концентрации, а для некоторых Б. с. и от температуры. Для каждой Б. с. pH остаётся примерно постоянным лишь до определённого предела, зависящего от концентрации компонентов.

Примеры буферных систем

------------------------------------------------------------------------------------------

| Компоненты | pH |

| (концентрации по 0,1 г мол/л) | (при |

| | 15-25⁰C) |

|----------------------------------------------------------------------------------------|

| Уксусная кислота + ацетат натрия, CH₃ | 4,7 |

| COOH + CH₃COONa | |

|----------------------------------------------------------------------------------------|

| Лимоннокислый натрий | 5,0 |

| (двузамещеный), C₆H₆O₇Na₂ | |

|----------------------------------------------------------------------------------------|

| Борная кислота + бура, | 8,5 |

| Н₃ВО₃ + Na₂B₄O₇ 10H₂O | |

|----------------------------------------------------------------------------------------|

| Борная кислота + едкий натр, | 9,2 |

| Н3ВО3 + NaOH. | |

|----------------------------------------------------------------------------------------|

| Фосфат натрия (двузамещеный)+ | 11,5 |

| + едкий натр, Na₂HPO₄ + NaOH | |

------------------------------------------------------------------------------------------

Б. с. широко используются в аналитической практике и в химическом производстве, так как многие химические реакции идут в нужном направлении и с достаточной скоростью лишь в узких пределах pH. Б. с. имеют важнейшее значение для жизнедеятельности организмов; они определяют постоянство кислотности различных биологических жидкостей (крови, лимфы, межклеточных жидкостей). Основные Б. с. организма животных и человека: бикарбонатная (угольная кислота и её соли), фосфатная (фосфорная кислота и её соли), белки (их буферные свойства определяются наличием основных и кислотных групп). Белки крови (прежде всего гемоглобин, обусловливающий около 75\% буферной способности крови) обеспечивают относительную устойчивость pH крови. У человека pH крови равен 7,35-7,47 и сохраняется в этих пределах даже при значительных изменениях питания и др. условий. Чтобы сдвинуть pH крови в щелочную сторону, необходимо добавить к ней в 40-70 раз больше щёлочи, чем к равному объёму чистой воды. Естественные Б. с. в почве играют большую роль в сохранении плодородия полей.

В. Л. Василевский.